Глоссарий по курсу "Численные методы решения уравнений математической физики и химии"

Ошибка аппроксимации - показывает насколько значение производной функции u в точке x _j , определяемое с помощью разностного оператора, аппроксимирующего эту производную, отличается от её истинного значения.

Если в уравнении отсутствует производная 2-го порядка хотя бы по одной из независимых переменных – то данное уравнение относят к уравнениям параболического типа.

На первом полушаге интервала Δt неявную разностную схему, которая будет учитывать только производную второго порядка по координате x назовем первая подсхема.

Порядок аппроксимации характеризует точность, с которой разностный оператор аппроксимирует производную функции u в точке x _j: чем выше порядок аппроксимации, тем точнее аппроксимация и, соответственно, меньше её ошибка.

Правило выбора конечной разности для аппроксимации производной первого порядка по координате в зависимости от знака стоящего перед ней параметра v: для того, чтобы разностная схема была устойчива (условно устойчива в случае явной разностной схемы и абсолютно устойчива в случае неявной разностной схемы) при положительном v для аппроксимации первой производной по координате следует использовать левую конечную разность, при отрицательном v – правую конечную разность.

Результат последовательного решения подсхем, называемых в совокупности предиктором, являются значения функции u на шаге по времени (n + 1/2).

Подход, заключающийся в стабилизации коэффициентов, являющихся функцией времени, на последнем рассчитанном шаге, называют принципом замороженных коэффициентов.

Введём двумерную систему координат, отложив по оси абсцисс независимую переменную х, а по оси ординат – независимую переменную t, и отметим на осях заданные интервалы изменения переменных х и t. Разобьём интервал [a; b] на некоторое количество равных частей и проведём из каждой точки деления прямую, перпендикулярную оси х. Выполним те же действия для интервала изменения другой независимой переменной. Тогда построенные прямые составят так называемую разностную сетку.

Соотношение, аппроксимирующее дифференциальное уравнение в точке (tⁿ, x_j) на разностной сетке, и называется разностной схемой.

Схематическое изображение узлов разностной сетки, связанных уравнением разностной схемы, называют разностным шаблоном.